次の式の値を求めよ　解答編 - 看護学校を目指す人のための数学

$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$ のとき、 $\sin^3\theta+\cos^3\theta$ の値を求めよ。

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

ってのがありましたね。

こちらを利用します。

つまり

$\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)$

となります。

与式より

$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$

また

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

です。

つまり

$\sin\theta\cos\theta$ の値が分かればいいのです。

$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$

より

$(\sin\theta+\cos\theta)^2=(\frac{1}{2})^2$

これを展開すると

$\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\frac{1}{4}$

$1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}$

$\sin\theta\cos\theta=-\frac{3}{8}$

以上をまとめると

$\sin^3\theta+\cos^3=\frac{1}{2}(1+\frac{3}{8})$

$=\frac{11}{16}$